Notes on Feynman Integrals and Renormalization

I review various aspects of Feynman integrals, regularization and renormalization. Following Bloch, I focus on a linear algebraic approach to the Feynman rules, and I try to bring together several renormalization methods found in the literature from a unifying point of view, using resolutions of singularities. In the second part of the paper, I briefly sketch the work of Belkale, Brosnan resp. Bloch, Esnault and Kreimer on the motivic nature of Feynman integrals.Comment: 39

Hopf algebras in renormalization theory: Locality and Dyson-Schwinger equations from Hochschild cohomology

In this review we discuss the relevance of the Hochschild cohomology of renormalization Hopf algebras for local quantum field theories and their equations of motion.Comment: 29 pages, eps figures; minor changes; final versio

The Hopf algebra of rooted trees in Epstein-Glaser renormalization

We show how the Hopf algebra of rooted trees encodes the combinatorics of Epstein-Glaser renormalization and coordinate space renormalization in general. In particular we prove that the Epstein-Glaser time-ordered products can be obtained from the Hopf algebra by suitable Feynman rules, mapping trees to operator-valued distributions. Twisting the antipode with a renormalization map formally solves the Epstein-Glaser recursion and provides local counterterms due to the Hochschild 1-closedness of the grafting operator $B_+$.Comment: 19p, minor corrections and improvements. To appear in AH

Kombinatorische und geometrische Aspekte von Feynman-Graphen und Feynman- Integralen

Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit Feynman-Graphen und zugeordneten Feynman-Integralen, die in der störungstheoretischen Quantenfeldtheorie von Bedeutung sind. Im ersten Teil der Arbeit definiere ich zu einem Feynman-Graphen zwei Arrangements von linearen Teilräumen, die jeweils den singulären Ort des Feynman-Integranden und den Ort, wo dieser nicht einmal lokal integrierbar ist, beschreiben. Ich studiere mehrere geeignete Auflösungen von Singularitäten, die die Arrangements in einen Divisor mit normalen Überkreuzungen verwandeln, unter Benützung eines allgemeineren Ergebnisses von De Concini und Procesi. Der Feynman-Integrand lässt sich nun auf das Komplement des Divisors zurückziehen, und mittels einer analytischen Regularisierung als meromorphe Distributionswertige Funktion auf das glatten Modell fortsetzen. Ich beweise physikalisch relevante Relationen zwischen den Laurent-Koeffizienten, und studiere lokalitätserhaltende Renormierungsverfahren auf dem glatten Modell. Im Gegensatz zu den in der Literatur vorhandenen rekursiven Renormierungsverfahren für den Ortsraum sind hier die kombinatorischen Einzelheiten in der Geometrie des glatten Modells kodiert, und eine einzige Subtraktion entlang dem Divisor genügt. Hierfür sind auch die von Connes und Kreimer eingeführten Hopfalgebren hilfreich. Im zweiten Teil der Arbeit beweise ich den Zusammenhang zwischen kombinatorischen Dyson-Schwinger-Gleichungen und Hopf-Teilalgebren der Connes-Kreimer- Hopfalgebren. Eine gewisse Rolle spielt dabei die erste Hochschild-Kohomologie dieser Hopfalgebren. Der dritte Teil der Arbeit leistet einen Beitrag zur parametrischen Darstellung von Feynman-Integralen, die unter anderem von Bloch, Esnault und Kreimer benutzt wird, um die motivische Kohomologie von Feynmangraph-Hyperflächen zu verstehen. Das Ergebnis bezieht sich auf das Verhalten von Graphpolynomen, wenn Graphen ineinander eingesetzt werden.This dissertation studies Feynman graphs and associated Feynman integrals which arise in perturbative Quantum Field Theory. In the first part of the dissertation, for a given Feynman graph two arrangements of linear subspaces are defined. They describe the singular locus of the Feynman integrand and the locus where the integrand is not even locally integrable, respectively. I study several resolutions of singularities which transform these arrangements into a divisor with normal crossings, using a more general result of De Concini and Procesi. The Feynman integrand can now be pulled back to the complement of the divisor, and is extended, using an analytic regularization, as a meromorphic distribution valued function onto the smooth model. I prove physically relevant relations between the Laurent coefficients, and study locality-preserving renormalization procedures on the smooth model. In contrast to the recursive renormalization procedures for position space found in the literature, here the cominatorial details are encoded in the geometry of the smooth model. Consequently, a single subtraction along the divisior suffices. For this also the Hopf algebras introduced by Connes and Kreimer are helpful. In the second part of the dissertation I prove the connection between combinatorial Dyson-Schwinger equations and Hopf subalgebras of the Connes- Kreimer Hopf algebras. A certain role is played here by the first Hochschild cohomology of these Hopf algebras. The third part of the dissertation provides a contribution to the parametric representation of Feynman integrals, which is used among others by Bloch, Esnault and Kreimer in order to understand the motivic cohomology of Feynman graph hypersurfaces. The result concerns the behavior of the graph polynomial as graphs are inserted one into another